NUMEROS RACIONALES

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Clasificación de números y sus historias

¿QUE ES UN NÚMERO?

Un número es un ente (algo intangible) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en:

• N=Números Naturales
• Z=Números Enteros
• Q=Números Racionales    
• I=Irracionales (en amarillo)
• R=Números Reales

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS

		Enteros (Z)	Naturales: (N) = {0, 1, 2, 3, ...} N Ç Z- = {0} Negativos: (Z-) = {0, –1, –2, ...}
	Racionales: (Q)     a/b
Reales (R)		Fraccionarios	Decimal exacto:          0.5 = 1/2 Periódico puro:          2.33333333... = 7/3 Periódico mixto:          2.34444444... = 211/90
	Irracionales: (I)    a/b	Tiene infinitas cifras decimales NO periódicas      p  = 3.14159265...      f  = 1.61803398... Ir     √2 = 1.41421356...      e = 2.71828182...
Imaginarios: (C)	√-2

BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LOS NÚMEROS

La noción de número es tan primitiva como el propio hombre. Los hombres primitivos utilizaban los dedos, muescas en huesos... para expresar cantidades: un mamut, una luna, un sol... empleando los NÚMEROS NATURALES.

Los babilonios (2100 a. C.) poseían una organización administrativa contable muy compleja, lo que motivó un desarrollo importante en los sistemas numéricos. Tenían un sistema de numeración base 60 perfectamente maduro. En él destacaba el valor posicional de las cifras, como en la actualidad. No utilizaban el cero, sino que dejaban un espacio en blanco, lo que inducía en muchas ocasiones a error; más adelante ya introdujeron un nuevo símbolo, parecido a una trompeta, que sustituía al espacio vacío y que podríamos considerar como cero.

A continuación, civilizaciones como la egipcia (2000 a. C.), empezaron a utilizar expresiones que representaban las fracciones, apareciendo así los NÚMEROS FRACCIONARIOS, eso sí, muy básicos y generalmente con el 1 como numerador.

En el siglo V a. C. los griegos encontraron otro tipo de números que eran la solución de determinadas ecuaciones y que no tenían fin, eran algo se le escapaba al razonamiento humano, eran los NÚMEROS IRRACIONALES.

Hubo que esperar al siglo XVII para empezar a considerar los NÚMEROS NEGATIVOS. El propio Descartes denominaba soluciones falsas a las raíces negativas de una ecuación, aunque es cierto que civilizaciones como la China parece que ya los conocían, colocando bolas rojas en los ábacos, simbolizando a los números negativos (de ahí que muchas veces oímos la expresión de números rojos).

La aparición de soluciones como "raíz cuadrada de menos cuatro"  no podían ser interpretadas de ninguna manera. Hubo que esperar al siglo XIX, cuando ya se le empezó a dar una fundamentación teórica y a representarlo gráficamente, momento en el que se comenzó a hablar de números imaginarios.

NUMEROS NATURALES:
   Los numeros naturales son aquellos que normarmente utilizamos para contar. Son aquellos numeros  positivos y sin parte decimal.

   N= ^{{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}}

NUMEROS ENTEROS:

   Son todos los numeros naturales y sus opuestos, es decir, los numeros enteros positivos y negativos.

Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... }

NUMEROS RACIONALES:

   Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.

NUMEROS IRRACIONALES:

   Son los numeros que poseen infinitas cifras decimales.

                        10/3 = 0,33333.....

                        pi = 3,141592354....
                         e = 2,7182818....

NUMEROS REALES:

    Incluyen todos los numeros anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un numero real.

Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:

 

Historia de los números naturales

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores.

Los babilónicos fueron los primeros que utilizaron el cero para los cálculos matemáticos. Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:

 

•  En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
•  En Egipto mediante jeroglíficos.
•  En Grecia, las letras de su alfabeto.
•  En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
•  Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Justificación de su introducción

Símbolos que fueron evolucionando hasta nuestros días, en que se representó a dicho conjunto con la letra N, a sus elementos por los signos 1, 2, 3, 4, ..., y a las operaciones entre ellos con los signos + y -.

Historia de los números enteros

  Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su abreviatura m.
 

 

Justificación de su introducción

 En el sistema de los numeros naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solución, así como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del terrenon nivel bajo el nivel del mar, temparaturas bajo cero, que no es posible representarlas con tales números.

Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales  a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible. Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los númenros enteros y que se simboliza por la letra Z.

 

Historia de los números racionales

 Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.
 

 
Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

    A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc.,  pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

 

Justificación de su introducción

Al estudiar la operación de multiplicar en los números enteros, se observa que la operación inversa, la división, no es siempre posible. Por ejemplo, 4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema de los números enteros, a un nuevo sistema en el que tengan sentido tales operaciones.
 
Este nuevo sistema recibió el nombre de sistema de los números racionales, y que se simboliza con la letra Q.

 

Historia de los números irracionales

 La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. Así en el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado, estando, también, familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, pero sin embargo, no conocían los números negativos y  el cero, ni tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado.

El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

                    X² + a X = b²

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, impulsándose sobre todo la Astronomía.

Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación. encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).

Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.
 

Justificación de su introducción

Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original. La razón de origen, fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro, el cual era el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que coincidía con la razón entre el segmento mayor y el menor de un segmento AB, dividido por un punto C, interior al mismo, en proporción áurea, es decir cumpliendo que AC/CB = AB/AC. A título de ejemplo, veamos su valor.
 
Llamemos a = AC y b= CB, con lo que la expresión anterior se transforma en:   a/b = (a + b)/a, con lo que si llamamos x al número áureo, tendremos x =1 + 1/x, llegando así, a la ecuación de segundo grado: x² - x -1 = 0, cuyas soluciones son  (1 + sqr(5))/2 y (1 - sqr(5))/2, donde sqr(5) simboliza la raíz cuadrada de cinco. Descartando la negativa, obtenemos así el buscado número de oro.

Pero sqr(5), no se podía expresar como cociente de dos enteros, pues, si así fuese, tendríamos que sqr(5) = a/b, donde a  y b son primos entre si (simplificando si es necesario). Por lo tanto 5 = a² / b², o bien a² = 5 b², es decir a² es múltiplo de cinco, y por lo tanto a también debe de serlo ( a² = a . a ). Sea, entonces a = 5 k, con lo que (5 k )² = 5 b², es decir 5 k² = b², llegando a que también b es múltiplo de cinco, en contradicción con el hecho de que a y b eran primos entre si. Por lo tanto sqr(5), no es un número racional y en consecuencia el número de oro tampoco. A tal número, le llamaron irracional, por no ajustarse a los esquemas que, hasta entroncas, tenían de los números.

Otro problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el teorema de Pitágoras conduce al número sqr(2), que por un razonamiento análogo al anterior tampoco es un número racional.

También justifico su introducción, la necesidad de asociar a todo segmento orientado de la recta con origen un punto fijo de la misma, y con respecto a un segmento tomado como unidad, un número único (su longitud) y recíprocamente.

Es de hacer notar que los razonamientos anteriores, los hicieron a través de métodos geométricos y no algebraicos, como hemos hecho.

 

Historia de los números reales

El sistema de los números reales es el formado por los números racionales y por los irracionales, o lo que es lo mismo, por el conjunto de todos los números decimales, siendo los decimales exactos, puros y mixtos los que corresponden a los racionales, y los restantes a los irracionales. Es por ello, el que su evolución histórica este ligada a la de los sistemas de números ya comentados. En consecuencia, este epígrafe resume la evolución de los números en general, que está íntimamente ligada a la evolución del álgebra. 

Distinguimos tres etapas:

1. Desde los tiempos más remotos hasta el siglo V a.C.

El concepto de número positivo, fue adquirido muy lentamente. Para muchas razas los números mayores que tres no tenían nombre; en otras todo lo que superaba al tres se conocía por "muchos".

Percibían los números como una propiedad inseparable de una colección de objetos, sin distinguirla de forma clara, es decir no se distinguen los números como algo abstracto. Estas conclusiones, se han deducido de los nombres que se sabe recibieron algunos números, un tiempo después, así por ejemplo "mano" que equivalía al número cinco, en cuyo caso cinco no se entiende en sentido abstracto sino en el de "tantos como los dedos de una mano". De esta forma se llegaron a utilizar distintos nombres para un mismo número de objetos: Uno para personas, otro para arboles, etc.

Paso bastante tiempo y comparar muchas veces colecciones con el mismo número de objetos, para poner en correspondencia biunívoca los elementos de ellas, hasta llegar al concepto "abstracto de número".

Las operaciones entre números aparecieron como reflejo de las relaciones entre objetos concretos, así por ejemplo se estableció que una suma no depende del orden de los sumandos.

Conforme la sociedad iba evolucionando, el hombre se vio ante la necesidad de perfeccionar los nombres y símbolos de los números y posteriormente la introducción de signos y designación literal de las incógnitas.

Los babilonios tenían un sistema de escritura de los números que era parcialmente decimal y parcialmente sexagesimal. En sus últimas escrituras cuneiformes ya apareció el cero, aunque fueron los indios los que verdaderamente lo introdujeron, al que llamaron "vacío", y les permitió elaborar un sistema de escritura análogo al de hoy en día.
 

Los antiguos griegos y posteriormente los rusos, hicieron uso de letras para designar números siendo, no obstante, los árabes los que trajeron a Europa de la India nuestros símbolos actuales y el método de formación de números.
 

1. Desde el siglo V a.C hasta el siglo XVII

Dentro de la etapa se pueden distinguir tres periodos:

• Griego.

Comienza en el siglo VII a.C y finaliza en el VII d.C. En este periodo se sabía que la sucesión de números se podía prolongar indefinidamente, con lo que se empezó a intuir la noción del infinito, así como que se podía operar con los números en general y formular y probar teoremas sobre ellos.

Los griegos, establecieron los cimientos para la teoría de números y descubrieron las magnitudes irracionales. Euclides estableció ya la existencia de un número infinito de números primos y Erastótenes creó un método para obtenerlos. Conocían propiedades sobre las progresiones aritméticas y geométricas y extraían raíces cuadradas y cúbicas. No conocían los números negativos.

Fueron los chinos los que por primera vez usaron los coeficientes negativos en los sistemas de ecuaciones de primer grado, dando un método para la búsqueda de las soluciones positivas de un sistema de tres ecuaciones de primer grado.
 

• Oriental.

Cubre el periodo entre los siglos V y XV. Al declinar la ciencia griega, el centro del desarrollo científico se desplaza a la India, Asia Central y los países árabes. Aquí, el camino de la matemática lo marcó, en gran parte, las astronomía.

Los indios introdujeron los números negativos y operaron con magnitudes irracionales, sin representaras geométricamente.

Los matemáticos del Asia central calcularon las raíces de las ecuaciones y, conocían, expresada en palabras, la fórmula del binomio de Newton. Inventaron las fracciones decimales.

Los chinos conocían el medio para resolver ecuaciones indeterminadas muy sencillas y las de tercer grado.
 

• Renacimiento Europeo.

Entre los siglos XVI y XVIII, Tartaglia y Ferrari, de la escuela italiana, resolvieron por radicales la ecuación de tercer grado y, posteriormente, la de cuarto. Se comenzaron a utilizar los números negativos y los imaginarios (a + b . sqr(-1)). Viète introdujo los símbolos agebraicos y Descartes los perfeccionó. Neper inventó los logaritmos y apareció la teoría de las combinaciones. Con alguna aportación más, se completo a comienzos del siglo XVIII la estructura del álgebra elemental.
 

1. Siglo XVIII en adelante.

Debido al nacimiento del Análisis matemático, su desarrollo estuvo relegado hasta la primera mitad del siglo XIX para que se profundizara más en su estudio aunque ya enfocado a una ampliación más global del concepto de número.

Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidaron y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.