Historia de la trigonometria
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Teorema de Pitágoras
Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre: Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos queUn ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a,b,c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados. Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque = 9 + 16 = 25 = c2 Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber 
 Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a,b,c). la longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2. No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes  Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos = 2ab + (a2 - 2ab + b2) = a2 + b2 Q.E.D. |
Cuando analizamos la palabra ángulo desde un punto de vista etimológico, comprenderemos que su significado en latín (“esquina”) es claramente fundamental para definirla. Uno puede contar con numerosos elementos para medir y analizar a un ángulo, aunque todas tienen que trabajar en el plano de la dimensión plana para lograr resultados. El grado de un ángulo es en este sentido uno de los principales elementos que nos sirven para describir y caracterizar a cada ángulo. El radián será además la unidad de cada ángulo que equivale a la longitud del radio angular.
En cuanto a la clasificación de los diferentes tipos de ángulos, podemos decir que entre los principales encontraremos a los ángulos rectos (aquellos que miden 90°), los ángulos agudos (menores a 90°) y los ángulos obtusos (superiores a 90°). Por otro lado, también contamos con ángulos llanos (todos aquellos ángulos que cuentan con 180° – es decir, dos ángulos rectos superpuestos en una superficie-). Finalmente, también debemos incluir en esta clasificación a los ángulos nulos (cuando no hay existencia de ángulos debido a la disposición de las rectas), ángulos completos (que se caracterizan por contar con 360°.
También pueden clasificarse los ángulos de acuerdo a si son convexos o cóncavos, siendo los primeros inferiores a 180° y los segundos, superiores.
Definición de triángulos
El triángulo es un polígono de tres lados.
El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.
Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos.
Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas.
Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.
Triángulos según sus lados
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales.
Triángulos según sus ángulos
Triángulo acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo rectángulo
Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso.
Trigonometría (del griego trigōnon “triángulo” + metron “medida”) es una rama de las matemáticas que estudia los triángulos, en particular triángulos en un plano donde un ángulo del triángulo mide 90 grados (triángulos rectángulos). En concreto, se refiere a las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, funciones trigonométricas, y los cálculos basados en los mismos. Los conocimientos de trigonometría han influido en otras ramas de la geometría, como el estudio de las esferas usando la trigonometría esférica.
La trigonometría tiene importantes aplicaciones en varias ramas, tanto como en las matemáticas puras como en matemáticas aplicadas y, en consecuencia, las ciencias naturales. La trigonometría se enseña generalmente en la escuela secundaria
Concepto básico de la trigonometría
Dos triángulos se dice que son similares si se puede obtener de manera uniforme la expansión del otro. Este es el caso si y sólo si sus ángulos correspondientes son iguales. El hecho crucial acerca de triángulos semejantes es que las longitudes de sus lados son proporcionales. Esto es, si el mayor lado de un triángulo es dos veces superior que el lado del triángulo similar, entonces el menor lado será también dos veces mayor que el menor lado del otro triángulo. Por lo tanto, la razón del mayor lado y el menor lado del primer triángulo será la misma razón del mayor lado y el menor lado del otro triángulo.
Con estos hechos se pueden definir las nociones trigonométricas básicas comenzando por los triángulos rectángulos (triángulos con un ángulo recto de 90º o n/2 radianes). El mayor lado en un triángulo cualquiera es siempre el lado puesto al mayor ángulo y por causa la suma de los ángulos de un triángulo debe ser 180º o n radianes o el mayor ángulo en un triángulo rectángulo es el ángulo recto. Como consecuencia, el mayor lado en ese triángulo es el lado opuesto al ángulo recto llamado de hipotenusa y el resto de lados se llaman catetos.
Dos triángulos rectángulos que compartan un 2º ángulo A son necesariamente similares y la razón entre el lado opuesto a A es la hipotenusa. Por tanto, la misma en los dos triángulos. Este valor será un número entre el 0 y el 1 que dependerá solamente de A. Este número se llama seno de A y es escrito como sen(A). De forma similar, se puede definir el coseno de A como la razón del cateto adyacente a A por la hipotenusa.
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